已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2)，a1＝12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2)，a1＝12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an的表达式；（3）若bn=-2an（...
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2)，a1＝12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an的表达式；（3）若bn=-2an（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜1．
展开
展开全部
（1）证明：∵-an=2Sn?Sn-1，∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）-----------（1分）
∴
?
＝2
又
＝
＝2，
∴{
}是以2为首项，2为公差的等差数列---------------（4分）
（2）解：由（1）得
＝2+(n?1)?2＝2n，∴Sn＝
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝
?
＝?
当n=1时，S1＝a1＝
∴an＝
--------------（8分）
（3）证明：由上知，bn＝?2an＝?2[?
]＝
=
?
---------------（10分）
∴b2+b3+…+bn=(1?
)+(
∴
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| Sn?1 |
又
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| a1 |
∴{
| 1 |
| Sn |
（2）解：由（1）得
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 2n |
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2(n?1) |
| 1 |
| 2n(n?1) |
当n=1时，S1＝a1＝
| 1 |
| 2 |
∴an＝
|
（3）证明：由上知，bn＝?2an＝?2[?
| 1 |
| 2n(n?1) |
| 1 |
| n(n?1) |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n |
∴b2+b3+…+bn=(1?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
