Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P-ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED．
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∴DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴DE⊥PC，
又∵PC⊥AD，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，∴AE⊥PC，
∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．
 

VP?ABC

VP?ADE

=

S△PBC

S△PED

=

4

1

．
∴V_ABCED=

3

4

VP?ABC=

3

4

×8=6．