Question

求微分方程y″+2y′+y=cosx，x=0时y=0，y′=32的特解

求微分方程y″+2y′+y=cosx，x=0时y=0，y′=32的特解．

Answer 1

齐次方程y′′+2y′+y=0的特征方程为
r²+2r+1=0，
其根为r₁=r₂=-1．
齐次方程y′′+2y′+y=0的通解为y=（C₁+C₂x）e-^x．
因为f（x）=cos x，λ+ωi=i不是特征方程的根，所以非齐次方程的特解应设为
y*=Acos x+Bsin x，
代入原方程得
-2Asin x+2Bcos x=cos x，
比较系数得A=0，B＝

1

2

．故y*＝

1

2

sinx．从而原方程的通解为y＝(C1+C2x)e?x+

1

2

sinx．
将初始条件代入通解得

C1＝0 ?C1+C2+ 1 2 ＝ 3 2

，
解之得C₁=0，C₂=1．
因此满足所给初始条件的特解为y＝xe?x+

1

2

sinx．