Question

已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1

已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是(2，+∞)(2，+∞)．

Answer 1

设A点坐标为（m，n），则直线AF₁的方程为 （m+c）y-n（x+c）=0，
右焦点F₂（c，0）到该直线的距离

|n(c+c)|

m2+n2

=2a，
即

c2n2

m2+n2

=a2，
所以e²=

c2

a2

=1+（

m

n

）2
因为A是双曲线上的点，
所以

m2

a2

-

n2

b2

=1，
所以（

m

n

）2=

a2

b2

+

a2

n2

，
所以e²=1+

a2

b2

+

a2

n2

＞1+

a2

b2

=1+

a2

c2?a2

=1+

1

e2?1

所以e²-1＞1，
即e＞

2

．
故答案为：(

2

，+∞)．