Question

已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x

已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：f(x2)?f(x1)x2?x1＜f′（x1+x22）．

Answer 1

解答：（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x?

1

x

=1+lnx，
令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln

1

e

，∴x＞

1

e

；
令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln

1

e

，∴0＜x＜

1

e

，
∴f（x）的单调增区间是（

1

e

，+∞），单调减区间是（0，

1

e

）．
f（x）_极小值=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，f（x）无极大值．
（2）证明：不妨设x₁＜x₂，
kAB＜f′(

x1+x2

2

)?

x2lnx2?x1lnx1

x2?x1

＜ln

x1+x2

2

+1，即x2lnx2?x1lnx1＜x2ln

x1+x2

2

-x1ln

x1+x2

2

+x₂-x₁，
x2ln

2x2

x1+x2

＜x1ln

2x1

x1+x2

+x2?x1，
两边同除以x₁得，

x2

x1

ln

2? x2 x1

1+ x2 x1

＜ln

2

1+ x2 x1

+

x2

x1

-1，
令

x2

x1

=t，则t＞1，即证：tln

2t

1+t

＜ln

2

1+t

+t-1，
令g（t）=tln

2t

1+t

?ln

2

1+t

-t+1，
g′（t）=ln

2t

1+t

+t?

1+t

2t

?

2

(1+t)2

+

1+t

2

?

2

(1+t)2

-1=ln

2t

1+t

+

1?t

1+t

=ln（1+

t?1

t+1

）-

t?1

t+1

，
令

t?1

t+1

＝x（x＞0），h（x）=ln（1+x）-x，
h′（x）=

1

1+x

?1＝

?x

1+x

＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+

t?1

t+1

）-

t?1

t+1

＜0恒成立，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，
∴tln

2t

1+t

＜ln

2

1+t

+t-1得证，
∴kAB＜f′(

x1+x2

2

)成立．