Question

关于泰勒公式的几个问题

在用泰勒公式求近似值时如何知道它的误差值在什么范围内，比如：求e的近似值。要求误差不超过10^-6,如何确定求到几阶？
如图，像e^sinx这样的复合函数的泰勒公式应该怎么求啊，答案没看懂求讲解。第一步把sinx看成一个整体这点是明白的，然后怎样化到第二步的啊？
ln（cosx）为什么一定要化成ln（1-2sin2x/2）再来写出它的泰勒公式啊？什么情况下需要进行转换？
为什么e^x的佩亚诺余项是o（x^n+1）而e^-x是o（x^n）

非常感谢！！

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Answer 1

第一个问题：因为题目指定的阶数为三阶，所以至少要计算到x^3即可，也就是说sinx展开到x^3，对于（sinx)^2，sinx只需展开到x即可，因为一平方就出现了4次方，就可满足题意，最终结果把高于3阶的无穷小舍去即可。
第二个问题：lnx的展开公式是没有的，只有ln(1+x)有展开公式，所以ln（cosx）一定要化成ln（1-2sin2x/2）这种形式，才能套用ln(1+x)的展开公式。
第三个问题：e^x的佩亚诺余项是o（x^n+1）没说展开到n阶，实际上展开到n+1阶，e^-x要求展开到n阶，所以o（x^n）是对的，佩亚诺余项只是对无穷小阶数的估计，题目中要求到n阶，只要出现o（x^n）就对了。