Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4
（1）求抛物线的方程（已做出）
（2）设点A(x1，y1），B（x2，y2),(yi《=0，i=1,2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与X轴垂直，求直线AB的斜率
（3）在（2）的条件下，若直线AB过点（1，-1），求弦AB的长

Answer 1

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=xP+p/2=4,
∴xP=4-p/2,16=2p(4-p/2),p^2-8p+16=0,p=4.
(1)y^2=8x.①
(2)P(2,4),∠APB的角平分线与x轴垂直,
∴PA,PB的倾角互补，
设AP:x=m(y-4)+2,②
代入①，y^2-8my+32m-16=0,
y1=4=yP,y2=8m-4=yA,
代入②，xA=m(8m-8)+2=8m^2-8m+2,
同理，以-m代m,得yB=-8m-4,xB=8m^2+8m+2,
∴AB的斜率=(yA-yB)/(xA-xB)=16m/(-16m)=-1.
(3)直线AB过点（1，-1）,
∴AB:x=-y,代入①，y^2+8y=0,y1=0,y2=-8,
∴|AB|=|y1-y2|√2=8√2.