Question

如图四边形ABCD是正方形,CE平行于BD,BE等于BD,BE交DC于点F. 求证:(1)角BE

等于30度
(2)DE=DF

Answer 1

解：如图，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则：A(0，1),C(1，0),D(1，1),B(0，0)

直线BD的方程为y=x

因为：CE平行BD，且经过C(1，0)

所以：直线CE的方程为y=x-1

以B为圆心，BD为半径的元经过E点，这个元的方程为：x²+y²=2

解①和②组成的方程组得：x=(1+√3)/2,y=(-1+√3)/2

即：点E的坐标为( (1+√3)/2,(-1+√3)/2  )

所以：由E,C两点坐标求得CE²=2-√3

在△BCE中，由余弦定理有：

1=2+（2-√3）-2(√2)[√(2-√3)]cos∠BEC

化简为3-√3=2[√(4-2√3)]cos∠BEC

即：3-√3=2（-1+√3)cos∠BEC

所以：cos∠BEC=（3-√3)/2(-1+√3）=(√3)/2

所以：∠BEC=30°

因为：∠BEC=30°，BD∥CE

所以：∠DBE=30°，∠DFE=∠BFC=45°+30°=75°

所以：∠DEF=(180°-30°)/2=75°

所以：∠DFE=∠DEF

即：DE=DF