Question

已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小

已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 　 　 ．

Answer 1

5

如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，证出MP+NP=QN=BC；如图2，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O，求出CO、BO，根据勾股定理求出BC长，即可得出答案． 解：如图，设线段AB的中点为Q，由菱形的对称性可知，点Q与点M关于直线BD对称，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小． ∵N为CD中点，Q为AB中点，四边形ABCD是菱形， ∴BQ∥CN，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴NQ=BC， 如图，连接AC，设对角线AC、BD相交于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC= AC=3，OB= BD=4， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5， 即图1中QN=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为：5．