Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l 1 ，l 2 ，经过右焦点F垂直于l 1 的直线分别交l 1

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l 1 ，l 2 ，经过右焦点F垂直于l 1 的直线分别交l 1 ，l 2 于A，B两点．已知 成等差数列，且 与 同向，(Ⅰ)求双曲线的离心率； (Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。

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Answer 1

解：(Ⅰ)设双曲线方程为 ， 右焦点为F(c，0)(c＞0)，则c 2 =a 2 +b 2 ， 不妨设l 1 ：bx-ay=0，l 2 ：bx+ay=0， 则 ， 因为 ，且 ， 所以 ， 于是得 ， 又 与 同向，故 ， 所以 ， 解得 或 （舍去）， 因此 ， 双曲线的离心率为 。 (Ⅱ)由a=2b知，双曲线的方程可化为x 2 -4y 2 =4b 2 ， ① 由l 1 的斜率为 知，直线AB的方程为 ，② 将②代入①并化简，得 ， 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， 则 ，③ AB被双曲线所截得的线段长 ，④ 将③代入④，并化简得l= ， 而由已知l=4，故b=3，a=6， 所以双曲线的方程为 。