Question

已知函数f（x）=x3-3x，若过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线有且仅有一条，则实数m的取值范围是______

已知函数f（x）=x3-3x，若过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线有且仅有一条，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

设切点为（t，t³-3t）
f′（x）=3x²-3，
则切线方程为y=（3t²-3）（x-t）+t³-3t
整理得y=（3t²-3）x-2t³，
把A（1，m）代入整理得：2t³-3t²+m+3=0 ①
记g（t）=2t³-3t²+m+3，
则g′（t）=6t²-6t=6t（t-1）
所以当t=0时，极大值g（0）=m+3，
当t=1时，极小值g（1）=m+2，
若过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线有且仅有一条，
所以①有1个解，
即极大值g（0）=m+3＜0或极小值g（1）=m+2＞0，
解得m＜-3或m＞-2．
故答案为：m＜-3或m＞-2．