Question

已知函数f(x)＝13x3+x2+ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，

已知函数f(x)＝13x3+x2+ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①当a≥1时，f′（x）≥0，
且仅当a=1，x=-1时，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函数；
②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，
x₁=-1-

1?a

，x₂=-1+

1?a

，
当x∈(?∞，?1?

1?a

)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈(?1?

1?a

，?1+

1?a

)时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x∈(?1+

1?a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
（2）由题意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的两个根，
故有a＜1，x12＝?2x1?a，x22＝?2x2?a，
因此f(x1)＝

1

3

x13+x12+ax1=

1

3

x1(?2x1?a) +x12+ax1
=

1

3

x12+

2

3

ax1
=

1

3

(?2x1?a)  +

2

3

ax1=

2

3

(a?1) x1?

1

3

a，
同理f(x2)＝

2

3

(a?1)x2?

1

3

a．
因此直线l的方程为：y=

2

3

(a?1)x ?

1

3

a．
设l与x轴的交点为（x₀，0）得x₀=

a

2(a?1)

，
f(x0)＝

1

3

[

a

2(a?1)

]3+[

a

2(a?1)

]2+a

a

2(a?1)

=

a2

24(a?1)3

(12a2?17a+6)，
由题设知，点（x₀，0）在曲线y=f（x）上，故f（x₀）=0，
解得a=0，或a=

2

3

或a=

3

4