Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，上顶点（0，b）在直线x+y-1=0上．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，上顶点（0，b）在直线x+y-1=0上．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Γ交于A，B两点（A，B不是椭圆Γ的顶点）．点C在椭圆Γ上，且AC⊥AB，直线BC与x轴、y轴分别交于P，Q两点．（i）设直线BC，AP的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数t，使得k1=tk2？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

（I）∵上顶点（0，b）在直线x+y-1=0上，∴b=1，
由e=

c

a

＝

a2?b2

a

=

3

2

得a²=4b²，即a=2，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+y2=1；
（II） （i）存在实数t，使得k₁=tk₂．
设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），C（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁）
∴直线AB的斜率k_AB=

y1

x1

，
∵AB⊥AC，∴直线AC的斜率k=-

x1

y1

，
设直线AC的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，
由

y＝kx+m x2+4y2＝4

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+4k2

由题意知x₁≠-x₂，∴k₁=

y1+y2

x1+x2

＝?

1

4k

＝

y1

4x1

，
∴直线BC的方程为y+y₁=

y1

4x1

（x+x₁），令y=0，得x=3x₁，即P（3x₁，0），
∴k₂=

0?y1

3x1?x1

＝?

y1

2x1

∴k₁=-

1

2

k₂即t=-

1

2

，
∴存在常数t=-

1

2

使得结论成立．
（ii）直线BC的方程y+y₁=

y1

4x1

（x+x₁），
令x=0，得y=-

3

4

y₁，
即Q（0，-

3

4

y₁），由（ i）知P（3x₁，0），
∴△OPQ的面积为S=

1

2

|OP|?|OQ|=

1

2

×3|x1|×

3

4

|y1|=

9

8

|x1||y1|
由于|x₁||y₁|≤

x12

4

+y12，
当且仅当

|x1|

2

＝|y1|＝

2

2

时等号成立，此时S取得最大值

9

8

，
∴△OPQ面积的最大值为

9

8

．