Question

（2014?宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1

（2014?宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

Answer 1

解答：解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴

PQ

AC

＝

QB

BC

＝

PB

AB

，即 

PQ

3

＝

QB

4

＝

x

5

∴PQ＝

3

5

x，QB＝

4

5

x
S_△APQ=

1

2

PQ×AQ
=?

6

25

x2+

3

2

x
=?

6

25

(x?

25

8

)2+

75

32

∴当x=

25

8

时，△APQ的面积最大，最大值是

75

32

；

（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
∴BC=

3

AC
∴λ=

3

时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

Answer 2

（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴
PQ
AC
＝
QB
BC
＝
PB
AB
，即
PQ
3
＝
QB
4
＝
x
5

∴PQ＝
3
5
x，QB＝
4
5
x
S△APQ=
1
2
PQ×AQ
=−
6
25
x2+
3
2
x
=−
6
25
(x−
25
8
)2+
75
32

∴当x=
25
8
时，△APQ的面积最大，最大值是
75
32
；

（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2=AB2-AC2
∴BC=
3
AC
∴λ=
3
时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．