Question

已知函数f（x）=a?3xx≤01x?xx＞0，若关于x的方程f[f（x）]=0有且仅有一解，则实数a的取值范围是（　　）

已知函数f（x）=a?3xx≤01x?xx＞0，若关于x的方程f[f（x）]=0有且仅有一解，则实数a的取值范围是（　　）A．（-∞，0）B．（-∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

（1）当a=0时，在x≤0的条件下，f（x）=0，此时方程f[f（x）]=0有无数解，不符合题意；
（2）当a＞0时，画此分段函数的图象：

设t=f（x），则f（t）=0，
c从图象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，则f（x）=1，
要使方程有唯一解，∴a＜1．
∴0＜a＜1
（3）当a＜0时，画此分段函数的图象：

设t=f（x），则f（t）=0，
c从图象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，则f（x）=1，
要使方程有唯一解，再从图象上看不管a取何值，f（x）=1只有一解，
∴a＜0
综上（1）（2）（3）：实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故选：B