Question

（2014?萧山区模拟）如图，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=14x2上运动，且∠AOB=90°，给出下列结

（2014?萧山区模拟）如图，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=14x2上运动，且∠AOB=90°，给出下列结论：①点（x1，x2）在反比例函数y=-16x的图象上；②直线AB与y轴交于定点（0，4）；③若以AB为直径的圆与x轴相切，则y1+y2=8．其中正确的结论是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③

Answer 1

①作AC⊥X轴于C，BD⊥y轴于D
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上，
∴y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，^x₁²=4y₁，x₂²=4y₂ ，
∴x₁²x₂²=16y₁y₂，
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△AOC∽△ODB
∴

?x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，
∴x₁²x₂²=-16x₁x₂，即x₂=

?16

x1

，
∴点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；

②∵点A（x₁，y₁）在抛物线y=

1

4

x²上，点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上，
∴

y＝ 1 4 x2 y＝? 16 x

∴

1

4

x²=-

16

x

解得x=-4，
∴点A的坐标A（-4，4），
代入y=

1

4

x²上可求得点B坐标为（4，4），
∴直线AB与y轴交于定点（0，4）；
③∵A（-4，4），B（4，4），
∴y₁=4，y₂=4
∴y₁+y₂=8．
故选：D．