Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1， ， ，E在棱SD上， (Ⅰ)

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1， ， ，E在棱SD上， (Ⅰ) 当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC； (Ⅱ) 当二面角S-AC-E的大小为 时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

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Answer 1

解：在 中,∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°,         ∴CA⊥AD 又SA⊥平面ABCD, ∴以A为坐标原点，AC,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 , ,          ∵ ∴        (1)  ∵SE=3ED∴              ∵        ∴  ∴SD⊥平面AEC    (2)  ∵AC⊥平面SAD,SA⊥底面ABCD，           ∴AC⊥AE,AC⊥SA           ∴ 为二面角S-AC-E的平面角,即 = , 此时E为SD的中点    设平面CDE的法向量为 计算可得           ∴ 即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为 ．