Question

已知幂函数f（x）= x - m 2 +2m+3 （m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）

已知幂函数f（x）= x - m 2 +2m+3 （m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）= f(x) +(2b+1)x-b-1 ，若g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）∵幂函数f（x）= x - m 2 +2m+3 （m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数 ∴-m 2 +2m+3＞0 ∴-1＜m＜3 ∵m∈Z，函数f（x）为偶函数 ∴m=1，此时f（x）=x 4 ； （2）g（x）= f(x) +(2b+1)x-b-1 =x 2 +（2b+1）x-b-1 ∵g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内， ∴ g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0 ，∴ b＜ 5 7 b＞ 1 5 b＞-1 ，解得 1 5 ＜b＜ 5 7 ．