Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为 e= 1 2 ，P为椭圆上一动点．F 1 、F 2 分

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为 e= 1 2 ，P为椭圆上一动点．F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，且△PF 1 F 2 面积的最大值为 3 ．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与圆x 2 +y 2 =1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求 OA ? OB 的取值范围．

Answer 1

（I）设椭圆C 1 的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0），c= a 2 - b 2 ， 则 a 2 - b 2 a = 1 2 ，所以 3 a=2b、 由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时， △PF 1 F 2 的面积最大，故|F 1 F 2 |b=bc= 3 ， 解得a=2，b= 3 ． 故所求椭圆方程为 x 2 4 + y 3 =1． （II）当直线l的斜率不存在时，因l与与圆x 2 +y 2 =1相切，∴l：x=1，此时A（1， 3 2 ）， B（1，- 3 2 ），∴ OA ? OB =1- 9 4 = 5 4 ； 当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，因l与与圆x 2 +y 2 =1相切，∴ |m| 1+ k 2 =1 ，整理得m 2 =k 2 +1， 联立l与椭圆C的方程，消去y得（4k 2 +3）x 2 +8kmx+4m 2 -12=0， △=48（4k 2 +3-m 2 ）=48（3k 2 +2）＞0，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 则x 1 +x 2 =- 8km 4 k 2 +3 ， x 1 x 2 = 4 m 2 -12 4 k 2 +3 ， ∴y 1 y 2 =（kx 1 +m）（kx 2 +m）=k 2 x 1 x 2 +km（x 1 +x 2 ）+m 2 = 3 m 2 -12 k 2 4 k 2 +3 ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 = 4 m 2 -12 4 k 2 +3 + 3 m 2 -12 k 2 4 k 2 +3 = -5( k 2 +1) 4 k 2 +3 =- 5 4 - 5 4(4 k 2 +3) ∵4k 2 +3≥3， ∴0＜ 5 4(4 k 2 +3) ≤ 5 12 ，- 5 3 ≤ OA ? OB ＜- 5 4 ． 综上， OA ? OB 的取值范围是[- 5 3 ，- 5 4 ]．