Question

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为______．

Answer 1

∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a²-4b=0，即b=

1

4

a²
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，即x²+ax+

1

4

a²-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x²+ax+

1

4

a²-c=0的两根分别为x₁=m，x₂=m+8，
∴

x1+x2＝?a x1x2＝ 1 4 a2?c

，可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，
即（-a）²-4（

1

4

a²-c）=64，解之即可得到c=16
故答案为：16