Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1an?an+1，求数列{bn}的前n项和Bn．

Answer 1

（Ⅰ）由2

Sn

＝an+1，n=1代入得a₁=1，
两边平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
（1）式中n用n-1代入得4Sn?1＝(an?1+1)2

&(n≥2)

（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，0=（a_n-1）²-（a_n-1+1）²，（3分）
[（a_n-1）+（a_n-1+1）]?[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正数数列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，有a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）bn＝

1

an?an+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
裂项相消得Bn＝

n

2n+1

．（14分）