Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②f（1）=

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．

Answer 1

（1）取x₁=x₂=0
得f（0）≥f（0）+f（0），
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）解：显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g(x1+x2)?[g(x1)+g(x2)]＝2x1+x2?1?[(2x1?1)+(2 x2?1)]=(2x1?1)(2 x2?1)≥0．
故g（x）=2^x-1满足条件①﹑②﹑③
所以g（x）=2^x-1为友谊函数．
（3）解：因为0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．