Question

设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 YX -1 0 1 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0

设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 YX -1 0 1 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c其中a，b，c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y，求：（Ⅰ）a，b，c的值；（Ⅱ）Z的概率分布；（Ⅲ）P{X=Z}．

Answer 1

（I）
由概率分布的性质知：
a+0.2+0.1+b+0.2+0.1+c=1，
即：a+b+c=0.4…①
由（X，Y）可写出X的边缘概率分布为：

X	-1	0	1
P	a+0.2	b+0.3	c+0.1

故：EX=-（a+0.2）+（c+0.1）=-0.2，
即：a-c=0.1…②
又因为：0.5＝P{ Y≤0|X≤0}＝

P{X≤0，Y≤0}

P{X≤0}

＝

a+b+0.1

a+b+0.5

，
整理即得：a+b=0.3…③
将①，②，③联立解方程组得：
a=0.2，b=0.1，c=0.1．

（II）
Z的可能取值为：-2，-1，0，1，2，
则：
P{Z=-2}=P{X+Y=-2}=P{X=-1，Y=-1}=0.2，
P{Z=-1}=P{X=-1，Y=0}+P{X=0，Y=-1}=0.1，
P{Z=0}=P{X=-1，Y=1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=-1}=0.3，
P{Z=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=0.3，
P{Z=2}=P{X=1，Y=1}=0.1．
故Z的概率分布为：

Z	-2	-1	0	1	2
P	0.2	0.1	0.3	0.3	0.1

（Ⅲ）
 P{X=Z}=P{X=X+Y}=P{Y=0}=0+0.1+0.1=0.2．