Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）求证：AE⊥D1F；（2）求证：AE⊥平面A1D1F

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）求证：AE⊥D1F；（2）求证：AE⊥平面A1D1F．

Answer 1

（1）取AB中点G，连结A₁G、FG
∵FG是正方形ABCD的对边中点的连线，∴FG

∥

.

AD
∵A₁D₁

∥

.

AD，∴FG

∥

.

A₁D₁，可得四边形GFD₁A₁是平行四边形，
所以A₁G∥D₁F．
设A₁G与AE相交于点H，∠AHA₁是AE与D₁F所成的角．
∵正方形ABA₁B₁中，G、E分别是AB、BB₁的中点，
∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE，得∠GA₁A=∠BAE=90°-∠A₁AE
∴∠GA₁A+∠A₁AE=90°，得∠AHA₁=90°即AE⊥A₁G，
结合A₁G∥D₁F，得AE⊥D₁F；
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，且AE?平面ABB₁A₁，
∴A₁D₁⊥AE，
又∵AE⊥D₁F，A₁D₁∩D₁F₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．