Question

设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内大于0，且xf′（x）=f（x）+3a2x2，而曲线y=f（x）与x=1、y=0围成

设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内大于0，且xf′（x）=f（x）+3a2x2，而曲线y=f（x）与x=1、y=0围成的图形D的面积为2．（1）求xf′（x）=f（x）+3a2x2 的通解；（2）求f（x）；（3）证明a=-5时图形D绕x轴转一周所得的旋转体的体积最小．

Answer 1

（1）将xf′(x)＝f(x)+

3a

2

x2变形成f′(x)?

1

x

f(x)＝

3a

2

x
这是一阶非齐次线性微分方程，解得
f(x)＝e∫

1

x

dx(∫

3a

2

xe?∫

1

x

dx+C)=

3a

2

x2+Cx
（2）由于曲线y=f（x）与x=1、y=0围成的图形D的面积为2
∴

∫

1 0

f(x)dx＝

∫

1 0

(

3a

2

x2+Cx)dx＝

a

2

+

C

2

＝2
∴C=4-a
∴f(x)＝

3a

2

x2+(4?a)x
（3）∵图形D绕x轴转一周所得的旋转体的体积
V(a)＝π

∫

1 0

[

3a

2

x2+(4?a)x]2dx=π(

a2

30

+

a

3

+

16

3

)
∴V′(a)＝π(

a

15

+

1

3

)
令V'（a）=0，解得
a=-5
又V''（a）=

π

15

∴a=5是V（a）的唯一极小值点，即为最小值点
∴a=-5时图形D绕x轴转一周所得的旋转体的体积最小．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示