Question

（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c

（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(1a?1)(1b?1)(1c?1)≥8．

Answer 1

解答：证明：（1）要证a²+b²+c²＞ab+bc+ca，只需证2（a²+b²+c²）＞2（ab+bc+ca）
即证（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0，
因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）²＞0，（b+c）²＞0，（a+c）²＞0，
所以（a+b）²+（b+c）²+（a+c）²＞0显然成立．
所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(

1

a

?1)(

1

b

?1)(

1

c

?1)＝

b+c

a

?

a+c

b

?

a+b

c

≥

2 bc

a

?

2 ac

b

?

2 ab

c

=8
当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立．