已知函数f（x）=lnxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求实数a的值

已知函数f（x）=lnxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142... 已知函数f（x）=lnxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由． 展开
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1个回答
#热议# 为什么有人显老，有人显年轻？
糖糖114
推荐于2016-06-07 · 超过60用户采纳过TA的回答
知道答主
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（1）依题意，f′(x)＝
x+a
x
?lnx
(x+a)2
（x＞0），（1分）
所以f′(1)＝
1+a
(1+a)2
=
1
1+a
，
由切线方程得f′（1）=1，即
1
1+a
=1，解得a=0，
此时f(x)＝
lnx
x
（x＞0），f′(x)＝
1?lnx
x2
，（3分）
令f′（x）＞0得，1-lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f′（x）＜0得，1-lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）
（2）解法一：
由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f（2014）＞f（2015），
即
ln2014
2014
＞
ln2015
2015
，则2015ln2014＞2014ln2015，
所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014（9分）
解法二：
20152014
20142015
=(
2015
2014
)2014×
1
2014
，
因为(
2015
2014
)2014=(1+
1
2014
)2014
=1+1+
C
2
2014
(
1
2014
)2+
C
3
2014
(
1
2014
)3+…+
C
2014
2014
(
1
2014
)2014
＜2+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
2014!

＜2+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2013×2014

＜2+（1-
1
2
）+（
1
2
?
1
3
）+…+（
1
2013
-
1
2014
）
=3-
1
2014
＜3，
所以
20152014
20142015
＜
3
2014
＜1，所以20142015＞20152014．（9分）
（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则k＞
lnx
x2
+
2
x
，
记g（x）=
lnx
x2
+
2
x
，只需k＞g（x）max．
又g′(x)＝
1?2lnx
x3
?
2
x2
=
1?2x?2lnx
x3
，（10分）
记h（x）=1-2x-2lnx（x＞0），则h′(x)＝?2?
2
x
＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=-1＜0，h(
2
2
)＝1?
2
?2ln
2
2
=1-
2
+ln2＞1-
3
2
+ln2=ln
2
e
＞0，
所以存在唯一x0∈(
2
2
，1)，使得h（x0）=0，即1-2x0-2lnx0=0，（11分）
当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：
x（0，x0）x0（x0，+∞）
h（x）+0-
g′（x）+0-
g（x）↗极大值↘
（12分）
所以g（x）max=g（x0）=
2x0+lnx0
x
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