Question

已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）

已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？

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Answer 1

（1）如图①，△PDC为等边三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=

1

2

∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形；（6分）

（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形．（12分）