Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点， （Ⅰ）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点， （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。

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Answer 1

解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB， ∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角， 在△AOE中，AO=1，OE= ， ， ∴ ， 即AC与PB所成角的余弦值为 。 （Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F， 则 ， 连PF，则在Rt△ADF中， ， 设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF， ∵DF⊥AC，DF⊥PA， ∴DF⊥面PAC， 从而NE⊥面PAC， ∴N点到AB的距离 ， N点到AP的距离 。