Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14恰为等比数列{bn}的

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14恰为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）证明：数列{an}为等差数列； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当n≥2时，4Sn?1＝

a

2 n

?4(n?1)?1，
∴4an＝4Sn?4Sn?1＝

a

2 n+1

?

a

2 n

?4，
∴

a

2 n+1

＝(an+2)2，∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，…（2分）
∴n≥2时，{a_n}为公差为2的等差数列，
∴a₂，a₅，a₁₄恰为等比数列{b_n}的前三项，
∴a52＝a2a14，
即(a2+6)2＝a2(a2+24)，解得a₂=3，…（3分）
由条件知4a1＝a22?5，则a₁=1，…（4分）
∴a₂-a₁=2=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n=2n-1，bn＝3n，…（8分）
∴Tn＝1×3+3×32+5×33+…+(2n?1)3n，
两边同乘以3得，3Tn＝1×32+3×33+…+(2n?3)3n+(2n?1)3n+1，…（9分）
两式相减得?2Tn＝1×3+2(32+33+…+3n)?(2n?1)3n+1
=3+2

32(1?3n?1)

1?3

?(2n?1)3n+1＝?6+(2?2n)3n+1，…（12分）
∴Tn＝3+(n?1)3n+1．…（13分）