Question

已知函数f(x)＝x2+2x+alnx，a∈R（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）

已知函数f(x)＝x2+2x+alnx，a∈R（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围（Ⅲ）记函数g（x）=x2f'（x），若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，f(x)＝x2+

2

x

?4lnx?f′(x)＝2x?

2

x2

? 

4

x

．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0?x＞

5 +1

2

，f'（x）＜0?0＜x＜

5 +1

2

．
∴函数的单调递减区间为（0，

5 +1

2

），单调递增区间为（

5 +1

2

，+∞）
（Ⅱ）f′(x)＝2x?

2

x2

+

a

x

函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥

2

x

?2x2在[1，+∞）上恒成立
令h(x)＝

2

x

?2x2，x∈[1，+∞），则问题等价于a≥h（x）_max
∵h(x)＝

2

x

?2x2在[1，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（1）=0，∴a≥0
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a
①a≥0，g，（x）=6x²+a＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）没有最小值．
②a＜0，g^，（x）=6x²+a=0，∴x＝

? a 6

∴函数在（0，

? a 6

）上单调递减，在（

? a 6

，+∞）上单调递增
∴g（x）在x＝

? a 6

处取得最小值
∴?

a

3

? a 6

+a

? a 6

?2＝?6，∴a=-6
∴f(x)＝x2+

2

x

?6lnx