Question

已知抛物线Y^2=2PX(P>0)与双曲线X^2\(根号2-1)^2-Y^2\B^2=1。有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，

，且AF垂直 | 于X轴，直线L与抛物线交于不同的两点C,D如果向量OC*OD=M（M为时常数）,直线L只过唯一的一定点，求出M的值和此定点 .

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Answer 1

由抛物线和双曲线方程的性质可知抛物线焦点坐标为(p/2,0)，双曲线右焦点坐标为(√(3-2√2+b^2),0)，因为焦点相同，有p/2=√(3-2√2+b^2)，A是两曲线交点且AF垂直于x轴，因此A点横坐标为p/2或√(3-2√2+b^2)，代入抛物线方程可知其纵坐标为±p，代入双曲线方程可知其纵坐标为±b^2/(√2-1)，因此有p=b^2/(√2-1)，与上式联立可解得p=2，b^2=2√2-2，抛物线方程为y^2=4x。
当直线L发生变化时，向量OC和OD的模也不断发生变化，要使两个向量的点乘为常数，则两个向量必须相互垂直，点乘的乘积M恒等于0，设直线l的方程为y=kx+b，则与抛物线方程联立后可解得两个交点C和D的坐标分别为([2-kb+2√(1-kb)]/k^2,[2+2√(1-kb)]/k)和([2-kb-2√(1-kb)]/k^2,[2-2√(1-kb)]/k)，由于OC垂直OD，可知有{[2-kb+2√(1-kb)]/k^2} * {[2-kb-2√(1-kb)]/k^2} + {[2+2√(1-kb)]/k} * {[2-2√(1-kb)]/k} = 0，化简得4k+b=0，因此该直线始终经过定点(4,0)。