Question

（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x 0 处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x 0 处连续，

（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x 0 处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x 0 处连续，且f（x 0 ）＞0，则存在一个x 0 的（x 0 -δ，x 0 +δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

Answer 1

（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x 0 |＜δ时， 总有|f（x）-f（x 0 ）|＜ε，则称函数f（x）在点x 0 处连续； （2）证：由已知f（x）在点x=x 0 处连续， 且f（x 0 ）＞0， 所以，由定义，对于给定的ε= f( x 0 ) 2 ＞0， 必存在δ＞0，当|x-x 0 |＜δ时， 有|f（x）-f（x 0 ）|＜ f( x 0 ) 2 ， 从而f（x）＞f（x 0 ）- f( x 0 ) 2 = f( x 0 ) 2 ＞0 即在（x 0 -δ，x 0 +δ）内处处有f（x）＞0．