Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交 AB、AC于点E、F，且D

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交 AB、AC于点E、F，且D为 EF 的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD= 2 3 ，∠CAD=30°时．求 AD 的长．

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Answer 1

（1）证明：连接OD，则OD=OA． ∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）； ∵ DE = DF ， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD ∥ AC； 又∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°，即BC⊥OD ∴BC与⊙O相切； （2）连接DE，则∠ADE=90°． ∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°， ∴∠AOD=120°； 在Rt△ADE中，易求AE= AD cos∠EAD = 2 3 3 2 =4， ∴⊙O的半径r=2， ∴ AD 的长= 120π×2 180 = 4 3 π ．