Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 a n+1 = 2 S n a n (n∈ N * ) ，其中a 1

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 a n+1 = 2 S n a n (n∈ N * ) ，其中a 1 =1，a n ≠0．（Ⅰ）求a 2 ，a 3 ；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）设数列{b n }满足 (2 a n -1)( 2 b n -1)=1 ，T n 为{b n }的前n项和，试比较T n 与 lo g 2 (2 a n +1) 的大小，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵ a n+1 = 2 S n a n (n∈ N * ) ，其中a 1 =1，a n ≠0． ∴ a 2 = 2 S 1 a 1 = 2 a 1 a 1 =2 ， a 3 = 2 S 2 a 2 = 2( a 1 + a 2 ) a 2 =3 ． （Ⅱ）由已知可知 S n = 1 2 a n a n+1 ，故 a n+1 = S n+1 - S n = 1 2 a n+1 a n+2 - 1 2 a n a n+1 ． ∵a n+1 ≠0，∴a n+2 -a n =2（n∈N * ）．          于是 数列{a 2m-1 }是以a 1 =1为首项，2为公差的等差数列，∴a 2m-1 =1+2（m-1）=2m-1， 数列{a 2m }是以a 2 =2为首项，2为公差的等差数列，∴a 2m =2+2（m-1）=2m， ∴a n =n（n∈N * ）．                      （Ⅲ）可知 T n ＞lo g 2 (2 a n +1) ．下面给出证明： 要比较T n 与 lo g 2 (2 a n +1) 的大小，只需比较2T n 与log 2 （2a n +1）的大小． 由 (2 a n -1)( 2 b n -1)=1 ，得 (2n-1)( 2 b n -1)=1 ， 2 b n = 2n 2n-1 ， 故 b n =lo g 2 2n 2n-1 ．             从而  T n = b 1 + b 2 +…+ b n =lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) ． 2 T n =2lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) = lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) 2 因此2T n -log 2 （2a n +1）= lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) 2 -log 2 （2n+1） = lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) 2 +lo g 2 1 2n+1 = lo g 2 [( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) 2 ? 1 2n+1 ] ． 设 f(n)=( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ) 2 ? 1 2n+1 ， 则 f(n+1)=( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?…? 2n 2n-1 ? 2n+2 2n+1 ) 2 ? 1 2n+3 ， 故 f(n+1) f(n) = 2n+1 2n+3 ?( 2n+2 2n+1 ) 2 = (2n+2) 2 (2n+3)(2n+1) = 4 n 2 +8n+4 4 n 2 +8n+3 ＞1 ， 又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）． 所以对于任意 n∈N * 都有 f(n)≥f(1)= 4 3 ＞1 ， 从而2 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2022-08-13 已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，a n =2S n-1 （n≥2），则a n =________． 2022-08-11 数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 =1，S n =n 2 a n ，那么a n =________． 2022-07-04 已知数列{a n }的前n项和S n =2 n +n-1，则a 1 +a 3 =______． 2020-05-17 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n =1- 1 2 a n (n∈ N * ) （Ⅰ）求数列{a n 2019-10-10 已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =- 2 3 ，S n + 1 S n =a n -2（n≥2， 2019-11-07 已知数列{a n }的前n项和为S n ．且满足 a 1 = 1 2 ， a n =-2 S n S n-1 (n≥2) 2016-07-23 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n = 1 2 a n ? a n+1 (n∈ N * ) ，其中a 2016-09-18 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 a n = S n ? S n-1 (n≥2， S n ≠0)， a 1 = 2 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式