Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB；(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点， 连结EC，CH，由于H为BC的中点，故 ， 又 ， ∴ ， ∴四边形EFHC为平行四边形， ∴EG∥FH， 而EG 平面EDB， ∴FH∥平面EDB。 (Ⅱ)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC， 又EF∥AB， ∴EF⊥BC，而EF⊥FB， ∴EF⊥平面BFC， ∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH， 又BF=FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC， ∴FH⊥平面ABCD， ∴FH⊥AC， 又FH∥EG， ∴AC⊥EG， 又AC⊥BD，EG∩BD=G， ∴AC⊥平面EDB。 (Ⅲ)解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°， ∴BF⊥平面CDEF， 所以BF为四面体B-DEF的高， 又BC=AB=2， ∴ ， 。