Question

已知数列{a n }满足： a 1 =1， a n+1 = 1 2 a n +n，n为奇数

已知数列{a n }满足： a 1 =1， a n+1 = 1 2 a n +n，n为奇数 a n -2n，n为偶数 （I）求a 2 ，a 3 ；（II）设 b n = a 2n -2，n∈ N * ，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）求数列{a n }前20项中所有奇数项的和．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1，得a 2 = 1 2 a 1 +1= 3 2 ，令n=2，得a 3 =a 2 -4=- 5 2 ． （II）b 1 =a 2 -2=- 1 2 ，且 b n+1 b n = a 2n+2 -2 a 2n -2 = 1 2 a 2n+1 +(2n+1)-2 a 2n -2 = 1 2 (a 2n -2×2n)+2n-1 a 2n -2 = 1 2 ，是一个与n无关的常数．  所以数列{b n }是等比数列，其通项公式b n =- ( 1 2 ) n （Ⅲ）由（II）可得a 2n =2+b n ． 数列{a n }前20项中所有奇数项的和S=a 1 +a 3 +a 5 +…+a 19 =a 1 + 1 2 ( a 2 -2×1) + 1 2 ( a 4 -2×2) +…+ 1 2 ( a 18 -2×18) =1-（1+2+4+…18）+ 1 2 （a 2 +a 4 +…a 18 ） =-90+ 1 2 （2+b 1 +2+b 2 +…2+b 9 ）=-90+ 1 2 （18+ - 1 2 (1- 1 2 9 ) 1- 1 2 ）=-90+9- 1 2 + 1 2 10 = 1 2 10 - 163 2