Question

已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0）

已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx．（1）当a=0时，①若f（x）的图象与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），求x0及b的值；②f（x）=g（x）在[1，m]上有解，求b的范围；（2）当b=-1时，若f（x）≥g（x）在[1e，n]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵a=0∴f（x）=bx，
①f′(x)＝b， g′(x)＝

1

x

∴

b＝ 1 x0 bx0＝lnx0

 ， ∴x0＝e，∴b＝

1

e

；
②∵f(x)＝g(x)∴bx＝lnx(x＞0)∴b＝

lnx

x

在[1，m]上有解，即y=b与h(x)＝

lnx

x

在[1，m]上有交点，
∵h′(x)＝

1?lnx

x2

，
∴当m≤e时h（x）在[1，m]上递增，则h(x)∈[0，

lnm

m

]，
当m＞e时h（x）在[1，e]上递增，在[e，m]上递减且h（x）＞0，则h(x)∈[0，

1

e

]，
∴m≤e时，b∈[0，

lnm

m

]；m＞e时，b∈[0，

1

e

]；
（2）∵b=-1∴f（x）=ax²-x∴f（x）≥g（x）即ax²-x≥lnx，
即a≥

x+lnx

x2

在[

1

e

，n]上恒成立，
令r(x)＝

x+lnx

x2

，∴r′(x)＝

1?x?2lnx

x3

，
令s（x）=1-x-2lnx，则s（x）为单调减函数，且s（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，
若n≤1，则r（x）在[

1

e

，n]上单调递增，
∴rmax(x)＝r(n)＝

n+lnn

n2

，∴a≥