Question

（2012?葫芦岛一模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=10，点P是半圆周上一点，连接AP、BP，并延长BP至点C

（2012?葫芦岛一模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=10，点P是半圆周上一点，连接AP、BP，并延长BP至点C，使CP=BP，过点C作CE⊥AB，点E为垂足，CE交AP于点F，连接OF．（1）当∠BAP=30°时，求BP的长度；（2）当CE=8时，求线段EF的长；（3）在点P运动过程中，点E随之运动到点A、O之间时，以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，请求出此时AE的长度．





Answer 1

（1）连接OP，

∵AB=10，
∴OB=5，
又∵∠BAP=30°，
∴∠BOP=60°，
∴

BP

=

60×π×5

180

＝

5π

3

．
（2）连接AC，

∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB=90°，
又∵CP=BP，
∴AP是线段BC的垂直平分线，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACE中，AE＝

AC2?CE2

＝

102?82

＝6，
∴BE=4，
又∵Rt△AEF∽Rt△CEB，
∴

EF

BE

＝

AE

CE

，

EF

4

＝

6

8

，
∴EF=3．
（3）若以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，
①当∠EOF=∠PAB时，此时△AOF为等腰三角形，点E为AO的中点，即AE=

5

2

；
②当∠EOF=∠ABP时，OF∥BP，
此时OE=5-AE，BE=10-AE，
∵Rt△EOF∽Rt△EBC，
∴

OE

EB

＝

OF

BC

，

5?AE

10?AE

＝

1

4

，
∴AE=

10

3

．