已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形B
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在B...
已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
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解:(1)如图①, 设正方形BEFG的边长为x, 则BE=FG=BG=x ∵AB=3,BC=6, ∴AG=AB﹣BG=3﹣x, ∵GF∥BE, ∴△AGF∽△ABC, ∴ , 即 , 解得:x=2, 即BE=2; (2)存在满足条件的t, 理由:如图②,过点D作DH⊥BC于H, 则BH=AD=2,DH=AB=3, 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t, 在Rt△B′ME中,B′M 2 =ME 2 +B?E 2 =2 2 +(2﹣ t) 2 = t 2 ﹣2t+8, ∵EF∥AB, ∴△MEC∽△ABC, ∴ ,即 , ∴ME=2﹣ t, 在Rt△DHB′中,B′D 2 =DH 2 +B′H 2 =3 2 +(t﹣2) 2 =t 2 ﹣4t+13,过点M作MN⊥DH于N, 则MN=HE=t,NH=ME=2﹣ t, ∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣ t)= t+1, 在Rt△DMN中,DM 2 =DN 2 +MN 2 = t 2 +t+1 (Ⅰ)若∠B′MD=90°,则B′D 2 =B′M 2 +DM 2 , 即 t 2 +t+1=( t 2 ﹣2t+8)+(t 2 ﹣4t+13), 解得:t= , (Ⅱ)若∠B′DM=90°,则B′M 2 =B′D 2 +DM 2 , 即: t 2 ﹣2t+8=(t 2 ﹣4t+13)+( t 2 +t+1), 解得:t 1 =﹣3+ ,t 2 =﹣3﹣ (舍去), ∴t=﹣3+ ; (Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M 2 =B′D 2 +DM 2 , 即: t 2 ﹣2t+8=(t 2 ﹣4t+13)+( t 2 +t+1), 此方程无解, 综上所述,当t= 或﹣3+ 时,△B′DM是直角三角形; (3)①如图③ ,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH, 即2:3=CE:4, ∴CE= , ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ = , ∵ME=2﹣ t, ∴FM= t, 当0≤t≤ 时,S=S △FMN =
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