Question

已知抛物线C1：y=x2-2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＜0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关

已知抛物线C1：y=x2-2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＜0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．（1）请直接写出抛物线C2的解析式；（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；（3）当△ABC为等边三角形时，请求出m的值；并说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，抛物线C₁：y=x²-2mx+n，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（-x）²-2m（-x）+n，即y=x²+2mx+n；

（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
如图，设AB与y轴交于点D．
∵抛物线C₁、C₂关于y轴对称，
∴顶点A与顶点B关于y轴对称，
又∵点C、D都在y轴上，
∴AC=BC，CD⊥AB，∠BCD=∠ACD．
当m=1时，∵抛物线C₁：y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴顶点A的坐标为A（1，n-1），
∴D点坐标为（0，n-1），AD=1．
又∵点C的坐标为（0，n），
∴CD=n-（n-1）=1，
∴AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）∵抛物线C₁：y=x²-2mx+n=（x-m）²+n-m²，
∴顶点A的坐标为A（m，n-m²），
∴D点坐标为（0，n-m²），AD=|m|．
又∵点C的坐标为（0，n），
∴CD=n-（n-m²）=m²．
当△ABC为等边三角形时，∠CAD=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tan∠CAD=

CD

AD

=

m2

|m|

=|m|，
∴|m|=

3

，
∴m=±

3

．