Question

在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧AC，F为AC上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，

在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧AC，F为AC上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q．（1）求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半；（2）分别延长PQ、BC，延长线相交于点M，设AP长为x，BM长为y，试求出y与x之间的函数关系式．

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Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圆B的切线，
∵PQ切圆B于F，
∴AP=PF，QF=CQ，
∴△DPQ的周长是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD，
∵正方形ABCD的周长是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD，
∴△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半．

（2）解：在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP²+DQ²=PQ²，
∴（4-x）²+（4-CQ）²=（X+CQ）²，
解得：CQ=

16?4x

x+4

，
DQ=4-

16?4x

x+4

=

8x

x+4

，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴

DP

CM

=

DQ

CQ

，
即

4?x

y?4

=

8x x+4

16?4x x+4

，
∴y=

8

x

+

1

2

x，
y与x之间的函数关系式是y=

8

x

+

1

2

x．