Question

已知点O为坐标原点，⊙C过点（1，1）和点（-2，4），且圆心在y轴上．（1）求⊙C的标准方程；（2）若过点P

已知点O为坐标原点，⊙C过点（1，1）和点（-2，4），且圆心在y轴上．（1）求⊙C的标准方程；（2）若过点P（1，0）的直线l与⊙C有公共点，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

（1）∵圆心在y轴上，∴可设⊙C的标准方程为x²+（y-b）²=r²．
∵⊙C过点（1，1）和点（-2，4），∴

1+(1?b)2＝r2 (?2)2+(4?b)2＝r2

，
解得

b＝3 r2＝5

．
∴⊙C的标准方程为x²+（y-3）²=5．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），
∵过点P（1，0）的直线l与⊙C有公共点，
∴圆心C到直线的距离d≤r．
∴

|?3?k|

1+k2

≤

5

，化为2k²-3k-2≥0，
解得k≥2或k≤?

1

2

．
故直线l斜率的取值范围是(?∞，?

1

2

]∪[2，+∞)．