Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF=BC-CD．（2）当点D在线段BC的延长线上（如图2），在线段CB的延长线上（如图3）时，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立请选择一种情况进行证明，如不成立，请直接写出新的关系式不需证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC-CD；

（2）解：（1）中结论不成立，图2中的关系式为：CF=BC+CD．理由如下：
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC+CD；
图3中的关系式为：CF=CD-BC．理由如下：
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF-∠BAC=∠BAC-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=CD-BC．