Question

已知函数f（x）=alnx+2x+1（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；（2）若f（x）存在

已知函数f（x）=alnx+2x+1（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)＝lnx+

2

x+1

，定义域为（0，+∞）
∴f′(x)＝

1

x

?

2

(x+1)2

＝

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，f_min（x）=f（1）=1
（2）f′(x)＝

a

x

?

2

(x+1)2

=

ax2+2(a?1)x+a

x(x+1)2

∵f（x）存在单调递减区间∴f′（x）＜0有正数解，即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解，
 ①当a=0时，明显成立
②当a＜0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax²+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解
 ③当a＞0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向上的抛物线，即ax²+2（a-1）x+a=0有正根，因为x₁x₂=1＞0，所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根?

△＞0 x1+x2＞0

，解得0＜a＜

1

2

，综上得a＜

1

2

．