在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= 1 3 x 2 -2交于A，B两点，且A点在y轴
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=13x2-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，-4），连接PA，PB．有以下说法：①PO2...
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= 1 3 x 2 -2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，-4），连接PA，PB．有以下说法：①PO 2 =PA?PB；②当k＞0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大；③当k= - 3 3 时，BP 2 =BO?BA；④△PAB面积的最小值为 4 6 ．其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号）
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| 设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立y=
∴m+n=3k，mn=-6． 设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：
∴y=（
令y=0，得x=
∴直线PA与x轴的交点坐标为（
同理可得，直线PB的解析式为y=（
∵
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称， ∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．  假设结论：PO 2 =PA?PB成立，即PO 2 =PA′?PB， ∴
又∵∠BPO=∠BPO， ∴△POA′ ∽ △PBO， ∴∠POA′=∠PBO， ∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知：
∴OB=-
由对称可知，PO为△APB的角平分线， ∴
∴PB=-
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km，PD=4+km．  ∴PA 2 -AO 2 =（PD 2 +AD 2 ）-（OD 2 +AD 2 ）=PD 2 -OD 2 =（4+km） 2 -（-km） 2 =8km+16， ∵m+n=3k，∴k=
∴PA 2 -AO 2 =8?
∴（PA+AO）（PB-BO）=-
即：（PA+AO）（PB-BO）为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当k= -
∴BP 2 =12，BO?BA=2×6=12， ∴BP 2 =BO?BA，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： S △PAB =S △PAO +S △PBO =
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为 2 为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
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