Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）利用图中条件，求出一次函数的解析式；（3）如图，写出当x取何值时，一次函数值小于反比例函数值？（4）坐标平面内是否存在点P，使以O、D、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于C，D两点，且点C（1，4）， ∴k=xy=1×4=4， ∴反比例函数的解析式为：y= 4 x ； 当x=4时，m=y= 4 4 =1， ∴m=1； （2）∵C（1，4），D（4，1）， ∴ a+b=4 4a+b=1 ， 解得： a=-1 b=5 ， ∴一次函数的解析式为：y=-x+5； （3）结合图象的可得：当0＜x＜1或x＞4是，一次函数值小于反比例函数值； （4）存在． 如图，∵点C的坐标为：（1，4），点D的坐标为；（4，1）， ∴直线OC的解析式为：y=4x，直线OD的解析式为：y= 1 4 x， ∵使以O、D、P、C为顶点的四边形是平行四边形， ∴直线P 1 P 2 的解析式为：y=-x①，直线P 1 P 3 的解析式为：y=4x-15②，直线P 2 P 3 的解析式为：y= 1 4 x+ 15 4 ③， 联立①②得： x=3 y=-3 ，联立①③得： x=-3 y=3 ，联立②③得： x=5 y=5 ， ∴P 1 （3，-3）；P 2 （-3，3）；P 3 （5，5）．