Question

如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明AD=CD。

如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明AD=CD。

Answer 1

解：过点D 作DE⊥BA交BA 的延长线于E，过点D作DF⊥BC，垂足为F ∴∠4=∠5=∠6=90° ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 在△BED和△BFD中 ∴△BED≌△BFD（AAS） ∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等） ∵∠A+∠C=180°，∠A+∠3＝180° ∴∠3=∠C（等角的补角相等） 在△AED和△CFD中 ∴△AED≌△CFD（AAS） ∴AD＝CD（全等三角形的对应边相等）。

Answer 2

因为BD平分∠ABC所以∠ABD=∠CBD.
又因为三角形内角和等于180又因为∠A+∠C=180°所以∠A=∠CDB+∠CBD
同理等∠CDB=∠ADB
由角边角等三角形CDB全等ADB
所以AD=CD

Answer 3

在BC上截取BP=BA,连DP
∵BP=BA,∠PBD=∠ABD,BD=BD
∴△PBD≌△ABD(SAS)
∴∠BPD=∠A,PD=AD
∵∠A+∠C=∠BPD+∠DPC=180°
∴∠C=∠DPC(等角的补角相等)
∴PD=CD(等角对等边)
∴AD=CD(等量代换)