Question

设函数 f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a与b满足的关系式；（Ⅱ）若a＞1，求函数f

设函数 f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a与b满足的关系式；（Ⅱ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a＞3，函数g（x）=a 2 x 2 +3，若存在m 1 ， m 2 ∈[ 1 2 ，2] ，使得|f（m 1 ）-g（m 2 ）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1- a x - b x 2 ，…（2分） 由f′（1）=0得b=1-a．                                      …（3分） （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分） 由（Ⅰ）可得f′（x）=1- a x - b x 2 = (x-1)[x-(a-1)] x 2 ． 令f′（x）=0，则x 1 =1，x 2 =a-1．                            …（6分） 因为x=1是f（x）的极值点，所以x 1 ≠x 2 ，即a≠2．           …（7分） 所以当a＞2时，a-1＞1， x （0，1） 1 （1，a-1） a-1 （a-1，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） ↗ ↘ ↗ 所以单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞），单调递减区间为（1，a-1）．  …（8分） 当1＜a＜2时，0＜a-1＜1， 所以单调递增区间为（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间为（a-1，1）．  …（9分） （Ⅲ）当a＞3时，f（x）在[ 1 2 ，1）上为增函数，在（1，2]为减函数， 所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．                          …（10分） 因为函数g（x）在[ 1 2 ，2]上是单调递增函数，所以g（x）的最小值为g（ 1 2 ）= 1 4 a 2 +3＞0．                   …（11分） 所以g（x）＞f（x）在[ 1 2 ，2]上恒成立．                            …（12分） 要使存在m 1 ，m 2 ∈[ 1 2 ，2]，使得|f（m 1 ）-g（m 2 ）|＜9成立，只需要g（ 1 2 ）-f（1）＜9，即 1 4 a 2 +3-（2-a）＜9， 所以-8＜a＜4． …（13分） 又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．                 …（14分）