Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知数列{bn}的公比为q（q＞0），a1=b1=1，S5

设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知数列{bn}的公比为q（q＞0），a1=b1=1，S5=45，T3=a3-b2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求qa1a2+qa2a3+…+qanan+1．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则S₅=5+10d=45．             
解得d=4，所以a_n=4n-3．                 …（4分）
由T₃=a₃-b₂，得1+q+q²=9-q，又q＞0，从而解得q=2，所以b_n=2^n-1．       …（8分）
（Ⅱ）

q

anan+1

＝

2

anan+1

＝

d

2anan+1

＝

1

2

(

1

an

?

1

an+1

)．  …（10分）
所以M＝

q

a1a2

+

q

a2a3

+…+

q

anan+1

=

1

2

(

1

a1

?

1

a2

+

1

a2

?

1

a3

+…+

1

an

?

1

an+1

)
=

1

2

(

1

a1

?

1

an+1

)=

1

2

(1?

1

4n+1

)=

2n

4n+1

．                           …（14分）